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已知区域D由曲线y=ex过原点的切线、曲线y=ex及y=1所围成，求区域D绕x=e旋转而成的旋转体的体积．
已知区域D由曲线y=ex过原点的切线、曲线y=ex及y=1所围成，求区域D绕x=e旋转而成的旋转体的体积．
admin
2022-12-09
44
问题
已知区域D由曲线y=e
x
过原点的切线、曲线y=e
x
及y=1所围成，求区域D绕x=e旋转而成的旋转体的体积．
选项
答案
设切点为P(a，e
a
)， 由e
a
=e
a
/a得a=1，故所求的切线为y=ex； 取[y，y+dy][*][1，e]， dV=[π(e-x
1
)
2
-π(e-x
2
)
2
]dy， 由x
1
=㏑y，x
2
=y/e得 dV=π[(e-㏑y)
2
-(e-y/e)
2
]dy=π(-2e㏑y+㏑
2
y+2y-y
2
/e
2
)dy， 故所求的体积为 V=π∫
1
e
(-2e㏑y+㏑
2
y+2y-y
2
/e
2
)dy =π(-2e∫
1
e
㏑ydy+∫
1
e
㏑
2
ydy+∫
1
e
2ydy-1/e
2
∫
1
e
y
2
dy) 由∫
1
e
㏑ydy=y㏑y|
1
e
-(e-1)=1，∫
1
e
㏑ydy=y㏑
2
y|
1
e
-2∫
1
e
㏑ydy=e-2得 V=π[-2e+e-2+e
2
-1-1/3e
2
(e
3
-1)]=π(-4e/3-3+e
2
+1/3e
2
)．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/GkgD777K
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考研数学三
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