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  3. 设f(χ)为n＋1阶可导函数，求证：f(χ)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(χ)≡0，f(n)(χ)≠0．

设f(χ)为n＋1阶可导函数，求证：f(χ)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(χ)≡0，f(n)(χ)≠0．

admin2018-11-11  65
问题 设f(χ)为n＋1阶可导函数，求证：f(χ)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(χ)≡0，f(n)(χ)≠0．
选项
答案由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋…＋[*] 若f(n+1)≡0，f(n)(χ)≠0，由上式得 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋…＋[*]f(n)(0)χn是n次多项式． 反之，若f(χ)＝anχn＋an-1χn-1＋…＋a1χ＋a0(an≠0)是n次多项式，显然 f(n)(χ)＝ann!≠0，f(n+1)(χ)≡0．
解析
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考研数学二

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