设f(χ)为n＋1阶可导函数，求证：f(χ)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(χ)≡0，f(n)(χ)≠0．

admin2018-11-11 82

问题设f(χ)为n＋1阶可导函数，求证：f(χ)为n次多项式的充要条件是f⁽ⁿ⁺¹⁾(χ)≡0，f⁽ⁿ⁾(χ)≠0．

选项

答案由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋…＋[*] 若f⁽ⁿ⁺¹⁾≡0，f⁽ⁿ⁾(χ)≠0，由上式得 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋…＋[*]f⁽ⁿ⁾(0)χⁿ是n次多项式．反之，若f(χ)＝a_nχⁿ＋a_n-1χ^n-1＋…＋a₁χ＋a₀(a_n≠0)是n次多项式，显然 f⁽ⁿ⁾(χ)＝a_nn!≠0，f⁽ⁿ⁺¹⁾(χ)≡0．

解析

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