差分方程△2yt－yt＝2t的通解为__________。

admin2019-01-25 84

问题差分方程△²y_t－y_t＝2^t的通解为__________。

选项

答案[*]，C为任意常数

解析本题考查非齐次差分方程的求解。非齐次差分方程的通解等于非齐次差分方程的一个特解与其对应的齐次差分方程的通解之和。
根据差分方程的定义
△²y_t＝△(△y_t)＝△y_t＋1－△y_t＝y_t＋2－y_t＋1－(y_t＋1－y_t)＝y_t＋2－2y_t＋1＋y_t，则原差分方程可化为y_t＋2－2y_t＋1＝2^t，即y_t＋1－2y_t＝2^t。
该一阶线性差分方程对应的齐次差分方程为y_t＋1－2y_t＝0，其特征方程为r－2＝0，特征值r＝2，通解为y_t＝C·2^t。
设原差分方程特解为y^*＝mt·2^t，解得

，则特解为

，因此可得原差分方程的通解为

，C为任意常数。

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