设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的导数，且满足求函数f(x)的表达式．

admin2017-11-13 48

问题设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的导数，且满足

求函数f(x)的表达式．

选项

答案因为f(t)为偶函数，故只需讨论t≥0的情形．由于f(t)=2∫₀^2πdθ∫₀^tr² f(r) ．rdr+t⁴=4π∫₀^tr³ f(r) dr+t⁴．在等式两边同时对变量t求导，得f ’ (t)= 4πt³ f(t)+ 4t³．且f(0)=0．这是一个一阶线性微分方程．解此微分方程，得 [*]

解析在已给出的积分方程中，因被积函数厂具有因子x²+y²，且积分区域为圆域，故应用极坐标，将二重积分化为累次积分，再通过微分，即得关于变量t的一个微分方程．
由一般的变限积分方程

所得到的微分方程，均有一个隐含的初始条件f(x₀)=0．

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