设λ为可逆方阵A的一个特征值，证明： (1)为A-1的特征值； (2)为A的伴随矩阵A的特征值．

admin2017-06-26 57

问题设λ为可逆方阵A的一个特征值，证明：
(1)

为A^*-1的特征值；
(2)

为A的伴随矩阵A^*的特征值．

选项

答案由λ为A的特征值，知存在非零列向量χ，使Aχ＝λχ，由此知λ≠O，否则λ＝0，则有Aχ＝0，[*]｜A｜＝0，这与A可逆矛盾，故λ≠0．用A^-1左乘Aχ＝λχ两端，再用[*]两端，得A^-1χ＝[*]χ，由定义即知[*]为A^-1的一个特征值且χ为对应的特征向量．因A^-1＝[*]A^*，故由A^-1χ＝[*]，即[*]A^*χ＝[*]，推出A^*χ＝[*]，所以，[*]为A^*的一个特征值且χ为对应的特征向量．

解析

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考研数学三

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