设函数f(x)在[0，1]上具有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0，f(x)≠0(x∈(0，1))，证明：

admin2014-02-06 83

问题设函数f(x)在[0，1]上具有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0，f(x)≠0(x∈(0，1))，证明：

选项

答案由题设可知｜f(x)｜存[0，1]上连续，根据有界闭区间上连续函数最值定理，存在x₀∈(0，1)，使得[*]在[0，x₀]与[x₀，1]上分别应用拉格朗日中值定理得：存在ξ₁∈(0，x₀)，ξ₂∈(x₀，1)使得[*]于是[*]令y=x(1一x)，则y^’=1—2x,由y^’=0得[*]，又y^’’=一2，所以y=x(1一x)在[*]处取最大值[*]．因而[*]在[*]处取最小值，因此[*]

解析

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