设f（x）在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫0af（x）dx=af（0）+

admin2017-12-29 94

问题设f（x）在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫₀^af（x）dx=af（0）+

选项

答案等式右端 ∫₀^af（x）dx=∫₀^af（x）d（x一a）=[（x — a）f（x）]|₀^a一∫₀^a（x—a）f’（x）dx =af（0）一∫₀^a（x — a）f’（x）dx 因为f’（x）连续，x—a≤0（x∈[0，a]），故由积分中值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫₀^a（x一a）f’（x）dx=f’（ξ）∫₀^a（x一a）dx=[*] 于是∫₀^af（x）dx=af（0）+[*]

解析

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考研数学三

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