[201 5年] 设函数f(x)连续，φ(x)=∫0xxf(t)dt，若φ(1)=1，φ′(1)=5，则f(1)=__________.

admin2019-04-05 95

问题 [201 5年] 设函数f(x)连续，φ(x)=∫₀^xxf(t)dt，若φ(1)=1，φ′(1)=5，则f(1)=__________.

选项

答案先求φ′(x)的表达式，由此可求得f√(1)． φ′(x)=[x∫₀^x²f(t)dt]′=∫₀^x²f(t)dt+2x²f(x²)． ① 又由φ(1)=∫₀¹1·f(t)dt=∫₀¹f(t)dt=1及式①得到 ∫₀¹f(t)dt+2f(1)=φ′(1)=5，故 2f(1)=5一∫₀¹f(t)dt=5—1=4，即f(1)=2．

解析

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