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  3. η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： (Ⅰ)η*，ξ1，…，ξn-r线性无关； (Ⅱ)η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关。

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： (Ⅰ)η*，ξ1，…，ξn-r线性无关； (Ⅱ)η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关。

admin2020-03-05  16
问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：
  (Ⅰ)η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；
  (Ⅱ)η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关。
选项
答案(Ⅰ)假设η*，ξ1，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使得 c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0， (1) 用矩阵A左乘上式两边，得 0=A(c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r)=c0Aη*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r=c0b， 其中b≠0，则c=0，于是(1)式变为 c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，…，ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，与假设矛盾。 所以η*，ξ1，…，ξn-r线性无关。 (Ⅱ)假设η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使 c0η*+c1(η*+ξ1)+…+cn-r(η*+ξn-r)=0， 即 (c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0。 (2) 用矩阵A左乘上式两边，得 0=A[(c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r] =(c0+c1…+cn-r)Aη*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r =(c0+c1…+cn-r)b， 因为b≠0，故c0+c1+…+cn-r=0，代入(2)式，有 c1ξ1+…+cn-rξn-r=0， ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，…，ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，则c0=0。与假设矛盾。 综上，向量组η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关。
解析
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考研数学一

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