在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2017-12-31 75

问题在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案设所求曲线为y＝y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 Y－y＝[*](X－x)(y’≠0) 令Y＝0，得X＝x＋yy’，该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*]即yy’＝1＋y’²．令y’＝p，则y’’＝p[*]，两边积分得 y＝[*]＋C₁，由y(1)＝1，y’(1)＝0得C₁＝0，所以y’＝±[*]，变量分离得 [*]＝±dx，两边积分得ln(y＋[*])＝±x＋C₂，由y(1)＝1得C₂＝[*]1， [*]

解析

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考研数学三

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在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

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