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设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交变换。
设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交变换。
admin
2018-12-19
92
问题
设二次型f=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
—4x
1
x
2
—4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
经正交变换化为3y
1
2
+3y
2
2
+by
3
2
，求a，b的值及所用正交变换。
选项
答案
二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似。由1+1+1=3+3+b得b=一3。 对λ=3，则有 ｜3E—A｜=[*]=一2(a+2)
2
=0， 因此a=一2(二重根)。 由(3E—A)x=0，得特征向量α
1
=(1，一1，0)
T
，α
2
=(1，0，一1)
T
。 由(一3E一A)x=0，得特征向量α
3
=(1，1，1)
T
。 因为λ=3是二重特征值，对α
1
，α
2
正交化有 β
1
=α
1
=(1，一1，0)
T
， [*] 单位化，有 [*] 则令 C=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=[*] 经正交交换x=Cy，二次型化为3y
1
2
+3y
2
2
一3y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/EAj4777K
0
考研数学二
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