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  3. 设fn(x)=x+x2+...+xn(n≥1). 证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.

设fn(x)=x+x2+...+xn(n≥1). 证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.

admin2019-09-23  76
问题 设fn(x)=x+x2+...+xn(n≥1).
证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.
选项
答案令Φn(x)=fn(x)-1,因为Φn(0)=-1＜0，Φn(1)=n-1＞0，所以Φn(x)在（0,1）[*](0,+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在（0，+∞）内有一个根。 因为Φ’n(x)=1+2x+...+nxn-1＞0,所以方程Φn(x)在（0，+∞）内单调增加，所以Φn(x)在（0，+∞）内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在（0，+∞）内有唯一正根，极为xn.
解析
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考研数学二

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