设在平面区域D上数量场u(x，y)=50－x2－4y2，试问在点P0(1，一2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P0(1，一2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

admin2018-09-25 81

问题设在平面区域D上数量场u(x，y)=50－x²－4y²，试问在点P₀(1，一2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P₀(1，一2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

选项

答案因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑grad u｜_(1，－2)=[*]=(－2xi－8yj)｜_(1，－2)=－2i+16j，故u(x，y)在点P₀(1，－2)处沿grad u｜_(1，－2)=－2i+16j方向升高最快．设所求的路径为y=y(x)，其上任一点P(x，y)处的切向量τ=(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向gradu=－2xi－8yj一致，则有 [*] 求解此微分方程初值问题可知，沿着y=－2x⁴出发时u(x，y)升高最快．

解析

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考研数学一

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设在平面区域D上数量场u(x，y)=50－x2－4y2，试问在点P0(1，一2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P0(1，一2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

考研数学一

已知方程组总有解，则λ应满足__________．

计算二重积分｜｜x+y｜－2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，－2≤y≤2．

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求下列旋转体的体积V：(Ⅰ)由曲线y=x2，x=y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体；(Ⅱ)由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)，y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体．

抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量X=则随机变量X在区间上取值的概率为_________．

讨论函数f(x)=在x=0处的连续性与可导性．

求函数f(x，y)=4x一4y—x2一y2在区域D：x2+y2≤18上的最大值和最小值．

设X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，X的概率密度函数为f(x)=，-∞＜x＜+∞，则λ的最大似然估计量=______。

设f(x)、g(x)均为连续的可微函数，且x=yf(xy)dx+xg(xy)dy．若存在二元可微函数u(x，y)，使得du=z，求f(xy)一g(xy)．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

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以下选项中表示一个合法的常量是(说明：符号□表示空格)

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