设f(x)在(-1，+∞)内连续且f(x)-1/(x+1)∫0xtf(t)dt=1(x＞-1)，求f(x)．

admin2021-10-18 18

问题设f(x)在(-1，+∞)内连续且f(x)-1/(x+1)∫₀^xtf(t)dt=1(x＞-1)，求f(x)．

选项

答案由f(x)-1/(x+1)∫₀^xtf(t)dt=1得(x+1)f(x)-∫₀^xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)+(x+1)f’(x)-xf(x)=1，整理得f’(x)+(-1+2/(x+1))f(x)=1/(x+1)，解得f(x)=[∫1/(x+1)·e^{∫(-1-2/x+1)dx}dx+C]e^{-∫(-1+2/x+1)dx}=Ce^x/(x+1)²-(x+2)/(x+1)²，由f(0)=1，得C=3，故f(x)=3e²/(x+1)²-(x+2)/(x+1)²．

解析

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