2. 考研
  3. 设f(x)在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数一∫0nf(x)dx(n=1，2，…)． (1)证明： (2)证明：反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散．

设f(x)在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数一∫0nf(x)dx(n=1，2，…)． (1)证明： (2)证明：反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散．

admin2020-03-16  116
问题 设f(x)在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数一∫0nf(x)dx(n=1，2，…)．
(1)证明：
(2)证明：反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散．
选项
答案(1)由f(x)单调减少，故当k≤x≤k+1时， f(k+1)≤f(x)≤f(k)． 两边从k到k+1积分，得 ∫kk+1f(k+1)dx≤∫kk+1f(x)dx≤∫kk+1f(k)dx，即 f(k+1)≤∫kk+1f(x)dx≤f(k)． [*] 即{an}有下界．又 an+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx≤0， 即数列{an}单调减少，所以[*]存在． (2)由于f(x)非负，所以∫1xf(t)dt为x的单调增加函数．当n≤x≤n+1时，∫1nf(t)dt≤∫1xf(t)dt≤∫1n+1f(t)dt，所以 [*]
解析
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考研数学二

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