已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2017-08-18 70

问题已知y₁^*＝xe^x＋e^2x，y₂^*＝xe^x＋e^—x，y₃^*＝xe^x＋e^2x—e^—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*—y₃^*＝e^—x，y₂^*—y₃^*＝2e^—x—e^2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁＝e^—x，y₂＝2(y₁^*—y₃^*)一(y₂^*—y₃^*)＝e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*＝y₁^*—y₂＝xe^x 因此该非齐次方程的通解是 y＝C₁e^—x＋C₂e^2x＋xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y’’＋py’＋qy＝f(x)．它的相应特征根是λ₁＝一1，λ₂＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ一2)＝0，即 λ²一λ一2＝0．因此方程为 y’’一y’一2y＝f(x)．再将特解y₄^*＝xe^x代入得 (x＋2)e^x—(x＋1)e^x—2xe^x＝f(x)，即f(x)＝(1—2x)e^x 因此方程为y’’—y’—2y＝(1—2x)e^x

解析

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考研数学一

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已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2Aα3=8α1+6α2—5α3．求秩r(A+E)．

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；

设α、β、γ均为大于1的常数，则级数

微分方程2x3y’=y(2x2一y2)的通解是____________．

下列三个命题①设的收敛域为(一R，R)，则的收敛域为(一R，R)；②没幂级数条件收敛，则它的收敛半径R=1；③设幂级数的收敛半径分别为R1，R2，则的收敛半径R=min(R1，R2)中正确的个数是

设A是3阶矩阵，b=[9，18，一18]T，方程组Ax=b有通解k1[-2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，一2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．

(2004年试题，一)欧拉方程的通解为______________.

设(Ⅰ)用变换x=t2将原方程化为y关于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．

设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

在企业生产活动刚开始前进行的控制是()。

A．凝固性坏死B．干酪样坏死C．液化性坏死D．脂肪坏死Ⅲ期梅毒发生的坏死属于

A、酶免疫技术B、荧光抗体染色法C、间接免疫荧光试验D、放射免疫分析E、免疫放射分析以核素标记抗原，为竞争抑制性结合的是

根据《药品经营许可证管理办法》，药品经营企业依法变更许可事项应重新办理《药品经营许可证》的情形是

生死两全保险可以从两个同样有效的角度来考察，这两个角度分别是(　　)。

下列最符合蛋白质互补原则的为()。

右边四个图形中，只有一个是由左边的四个图形拼合(只能通过上、下、左、右平移)而成的，清把它找出来。

______becarefulwhencrossingthestreet!

已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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