2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)+f″(ξ)=0．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)+f″(ξ)=0．

admin2019-09-27  4
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)+f″(ξ)=0．
选项
答案由[*]=0，得f(1)=－1， 又[*]，所以f′(1)=0 由积分中值定理得f(2)=[*]=f(c)，其中c∈[*]， 由罗尔定理，存在x0∈(c，2)[*](1，2)，使得f′(x0)=0． 令φ(x)=exf′(x)，则φ(1)=φ(x0)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)[*](0，2)，使得φ′(ξ)=0， 而φ′(x)=ex[f′(x)+f″(x)]且ex≠0，所以f′(ξ)+f″(ξ)=0．
解析
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考研数学一

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