已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Oy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2016-01-11 54

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Oy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为

证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案由(1)知A的特征值为1，1，0，于是A+E的特征值为2,2，1，又A+E为实对称矩阵，故A+E为正定矩阵．

解析本题考查抽象二次型化标准形的逆问题，由正交变换下的标准形与二次型对应的矩阵A的特征值的关系，求A．再由正定矩阵的定义判定A+E的正定性．

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