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[2015年] 函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=_________．
[2015年] 函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=_________．
admin
2021-01-19
99
问题
[2015年] 函数f(x)=x
2
·2
x
在x=0处的n阶导数f
(n)
(0)=_________．
选项
答案
求多项式与初等函数乘积的高阶导数常用下述莱布尼茨公式求之： (uv)
(n)
=C
n
0
u
0
v
(n)
+C
n
1
u
(1)
v
(n-1)
+C
n
2
u
(2)
v
(n-2)
+…+C
n
n
u
(n)
v
(D)
， 也可用麦克劳林公式的系数求函数f(x)在x=0处的n阶导数． 解一 f(x)为多项式x
2
与指数函数2
x
之乘积．令u=x
2
，v=2
x
，由上述公式得到 f
(n)
(x)=C
n
0
(x
2
)
(0)
(2
x
)
(n)
+C
n
1
(x
2
)
(1)
(2
x
)
(n-1)
+C
n
2
(x
2
)
(2)
(2
x
)
(n-2)
+…+C
n
n
(x
2
)
(n)
(2
x
)
(0)
=x
n
·2
x
(ln2)
n
+C
n
1
2x·2
x
(ln2)
n-1
+C
n
2
2·2
x
(ln2)
n-2
+C
n
3
0．(2
x
)．(ln2)
n-3
+0 =x
n
·2
x
(ln2)
n
+C
n
1
2x·2
x
(ln2)
n-1
+C
n
2
2．2
x
(ln2)
n-2
， 则f
(n)
(0)=C
n
2
2·2
0
(ln2)
n-2
=[*]．2(ln2)
n-2
=n(n一1)(ln2)
n-2
．
解析
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考研数学二
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