设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

admin2020-04-30 12

问题设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

选项 A、A^T与B^T相似
B、A^－1与B^－1相似
C、A＋A^T与B+B^T相似
D、A＋A^－1与B＋B^－1相似

答案C

解析由A与B相似可知，存在可逆矩阵P，使得P^－1AP＝B，则B^T＝(P^－1AP)^T＝P^TA^T(P^T)^－1

A^T～B^T，故A选项正确；B^－1＝(P^－1AP)^－1＝P^－1A^－1P

A^－1～B^－1，故B选项正确；P^－1(A+A^－1)P＝P^－1AP＋P^－1A^－1P＝B+B^－1

A＋A^－1～B+B^－1，故D选项正确；P^－1(A+A^T)P＝P^－1AP+P^－1A^TP，若P^－1AP＝B，则P^TA^T(P^T)^－1＝B^T，而P^－1A^TP未必等于B^T，故C选项错误．故本题选C

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