已知A=，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

admin2017-07-26 56

问题已知A=

，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

选项

答案由矩阵A的特征多项式｜λE一A｜=[*]=(λ+a一1)(λ—a)(λ—a一1)，得A的特征值是λ₁=1一a，λ₂=a， λ₃=a+1．由(λ₁E—A)x=0，得属于λ₁=1一a的特征向量是 α₁=(1，0，1)^T．由(λ₂E—A)x=0，得属于λ₂=a的特征向量是 α₂=(1，1一2a，1)^T，由(λ₃E一A)x=0，得属于λ₃=a+1的特征向量是 α₃=(2一a，一4a，a+2)^T．如果λ₁，λ₂，λ₃互不相同，即1一a≠a，1一a≠a+1，a≠a+1，即a≠[*]且a≠0，则矩阵A有3个不同的特征值．A可以相似对角化．若a=[*]，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．若a=0，即λ₁=λ₃=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．

解析

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考研数学三

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