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  3. 求下列定积分： (Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx．

求下列定积分： (Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx．

admin2019-07-19  37
问题 求下列定积分：
(Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx．
选项
答案[*]
解析 积分I=∫0bf(x)dx在变量替换t=b一x下积分区间保持不变，即
    I=一∫b0f(b一t)dt=∫0bf(b一t)dt=∫0bf(b一x)dx，
于是  2I=∫0b[f(x)+f(b—x)]dx．若右端易求，则就求出了I值．题(Ⅰ)就是如此．
    积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外，有时对某些其他函数也会带来方便．在对称区间的情形：I=∫—aaf(x)dx，若作变量替换x=一t，则积分区间保持不变，即I=∫—aaf(一t)dt．
于是    2I=∫—aa[f(x)+f(一x)]dx．
若右端积分易算，则就求出了I的值．题(11)就是这样．
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考研数学一

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