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  3. 求函数f(x，y)=xy在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

求函数f(x，y)=xy在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

admin2020-03-08  70
问题 求函数f(x，y)=xy在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
选项
答案区域D如图所示： [*] (1)边界L1：y＝0(0≤x≤2)，此时f(x，0)＝[*]，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(2，0)＝[*]。 边界L2：x＝0(0≤y≤4)，则f(0，y)＝－y，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(0，4)＝－4。 边界L3：y＝4－x2(x≥0)，则 [*] 令 [*] 解得[*](舍去)，[*]又 [*] 故该函数在此边界的最大值为[*] (2)区域D内部，f(x，y)＝[*] 则 [*] 解得x＝1，[*] f"xx(x，y)＝0， f"xy(x，y)＝1， f"yy(x，y)＝0， 故AC－B2＜0，函数在区域D内部不存在极值。综上所述，函数在区域D上的最大值为f(0，0)＝0；最小值为f(0，4)＝－4。
解析 先画出区域图形，分别分析三个边界和区域内部上的最值，然后对所求出的值进行比较，得出最大值和最小值。
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