已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E-A2｜=0．

admin2016-10-20 63

问题已知A是2n+1阶正交矩阵，即AA^T=A^TA=E，证明：｜E-A²｜=0．

选项

答案由行列式乘法公式(1．10)，得｜A｜²=｜A｜.｜A^T｜=｜AA^T｜=｜E｜=1． (Ⅰ)如｜A｜=1，那么｜E-A｜=｜AA^T-A｜=｜A(A^T-E^T)｜=｜A｜.｜A-E｜=｜-(E-A)｜ =(-1)²ⁿ⁺¹｜E-A｜=-｜E-A｜，从而｜E-A｜=0． (Ⅱ)如｜A｜=-1，那么可由｜E+A｜=｜AA^T+A｜=｜A(A^T+E^T)｜=｜A｜.｜A+E｜=-｜E+A｜，得到｜E+A｜=0．又因｜E-A²｜=｜(E-A)(E+A)｜=｜E-A｜.｜E+A｜，所以不论｜A｜是+1或-1，总有｜E-A²｜=0．

解析

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