2. 考研
  3. 求下列欧拉方程的通解: (1)x2y〞＋3xyˊ＋y＝0； (2)x2y〞－4xyˊ＋6y＝x； (3)y〞－yˊ／x＋y／xx＝2／x； (4)x3y〞ˊ＋3x2y〞－2xyˊ＋2y＝0； (5)x2y〞＋xyˊ－4y＝x3； (6)x

求下列欧拉方程的通解: (1)x2y〞＋3xyˊ＋y＝0； (2)x2y〞－4xyˊ＋6y＝x； (3)y〞－yˊ／x＋y／xx＝2／x； (4)x3y〞ˊ＋3x2y〞－2xyˊ＋2y＝0； (5)x2y〞＋xyˊ－4y＝x3； (6)x

admin2011-11-19  187
问题 求下列欧拉方程的通解:
(1)x2y〞＋3xyˊ＋y＝0；    (2)x2y〞－4xyˊ＋6y＝x；
(3)y〞－yˊ／x＋y／xx＝2／x；    (4)x3y〞ˊ＋3x2y〞－2xyˊ＋2y＝0；
(5)x2y〞＋xyˊ－4y＝x3；    (6)x2y〞－xyˊ＋4y＝xsin(1nx)．
选项
答案(1)令x＝et或t＝lnx作变换代人原方程(D2＋2D＋1)y＝0，特征方程为r2＋2r＋1＝0，r＝－1，所以y(t)＝(C1＋C2t)e，所以y(x)＝(C1＋C2lnx)×1／x． (2)用t=lnx作代换．原方程化为 (D2－5D＋6)y＝et， ① 对应齐次方程的特征方程为r2－5r＋6＝0，r1＝2，r2=3．齐次方程通解为y(t)＝C1e2t＋C2e3t f(t)＝et，r＝1不是特征方程的根． 所以特解形式y*＝aet 代人①得a＝1／2，所以特解为y*＝1／2et， 从而①式通解为y(t)＝1／2et＋C1e2t＋C2e3t， 所以原方程通解为y(x)＝1／2x＋C1x2＋C2x3． (3)方程两边同乘x2，得x2y〞－xyˊ＋y＝2x，用x＝et作代换得 (D2－2D＋1)y＝2et， ① 对应齐次方程的特征方程为r2－2r＋1＝0，r＝1，齐次方程通解为y(t)＝(C1＋C2t)et，f(t)＝2et， 所以特解形式为 y*(t)＝tt×a×et．代入①得a＝1，所以y*(t)＝t2et，从而①式通解为y (t)＝t2et＋(C1＋C2t)et． 所以原方程通解为y(x)＝x[(1nx)2＋(C1＋C2lnx)]， y(x)＝x(ln2x＋C1＋C2lnx)． (4)用x＝et作代换得(D3－3D＋2)y＝0，特征方程为r3－3r＋2＝0，得特征根r1＝r2＝1，r2＝－2，所以①式方程通解为y(t)＝(C1＋C2t)et＋C3e2t，所以原方程通解为y(x)＝x×(C1＋C2lnx)＋C3e－2． (5)用x＝et或t＝lnx作代换得(D2－4)y＝e3t， ① 对应齐次方程的特征方程为r2－4＝0，所以特征根为y，r1＝2，r2＝－2，齐次方程通解为y(t)＝C1e2t＋C2e－2t，特解形式为y*(t)＝ae3t，代入①式得a＝1／5． 所以①式方程通解为y(t)＝1／5e3t＋C1e2t＋C2e－2t，所以原方程通解为y(x)＝1／5x3＋C1x2＋C2x－2． (6)用x＝et作代换得(D2－2D＋4)y＝etsint， ① [*]
解析
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考研数学三

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