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  3. [2018年] 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． 求f(x)；

[2018年] 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． 求f(x)；

admin2019-05-10  97
问题 [2018年]  已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2．
求f(x)；
选项
答案作变量替换，u=x—t，得t=x一u，dt=一du，则 ∫0xtf(x—t)dt=一∫0x(z一u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du， 所以原方程可化为 ∫0xf(t)dt+x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du=ax2． 上式两端对x求导得 f(x)+∫0xf(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax， 即 f(x)+∫0xf(u)du=2ax，其中f(0)=0． 继续求导，有 f′(x)+f(x)=2a， 为一阶线性微分方程，其通解 f(x)=e-∫dx(∫2ae∫dxdx+C)=2a+Ce-x， 再结合f(0)=0，得f′(x)=2a一2ae-x．
解析
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考研数学二

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