已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，fˊ(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明：a＜x0＜b．

admin2020-05-09 207

问题已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，fˊ(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x₀，0)，证明：a＜x₀＜b．

选项

答案由题意得(b，f(b))处的切线方程为y-f(b)=fˊ(b)(x-b)，令y=0，得[*]．因为fˊ(x)＞0，所以f(x)单调递增，又因f(a)=0，则f(b)＞0，又因fˊ(b)＞0，所以[*]．又因为[*]，而在[a，b]上f(x)应用拉格朗中值定理有 [*] 所以，[*] 因f"(x)＞0，所以fˊ(x)单调递增，所以fˊ(b)＞fˊ(ξ)，从而x₀-a＞0，即a＜x₀＜b

解析【思路探索】写出切线方程，解出与x轴交点x₀的表示式，利用函数的单调性和拉格朗日中值定理证明不等式．

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考研数学二

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已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，fˊ(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明：a＜x0＜b．

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