2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2016-01-11  116
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案由矩阵A的特征多项式[*]得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=一3．对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E一A)x=0，得其基础解系ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T． 对于λ3=一3，解齐次线性方程组(一3E一A)x=0，得基础解系ξ3=(1，0，一2)T．由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化，由此得[*]令矩阵[*]则Q为正交矩阵，在正交变换x=Qy下，有[*]且二次型的标准形为f=2y12+2y22—3y32．
解析 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，特征值与特征向量的计算与性质．首先写出二次型f的矩阵A，利用特征值与行列式、迹之间的关系，求出a，b的值．此时该题成为一道常规题了．
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考研数学二

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