2. 考研
  3. 设函数y=y(x)满足微分方程 y“-3y‘+2y=2ex， 且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．

设函数y=y(x)满足微分方程 y“-3y‘+2y=2ex， 且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．

admin2021-02-25  80
问题 设函数y=y(x)满足微分方程
    y“-3y‘+2y=2ex，
且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．
选项
答案原方程所对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e2x． 设原方程的特解为y*=Axex，代入方程得A=-2，故原方程的通解为y=C1ex+C2e2x-2xex． 由于曲线与y=x2-x+1在点(0，1)处有公共切线，从而y(0)=1，y‘(0)=-1， 因此[*]解得C1=1，C2=0，于是y=y(x)的表达式为y=ex-2xex．
解析 本题仍是二阶常系数非齐次方程的初值问题，初始条件要从已知条件两条切线重合得出．
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考研数学二

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