设xOy平面第一象限中有曲线F：y=)，(x)，过点A(0，)，y’(x)>0．又M(x，y)为F上任意一点，满足：弧段的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为．导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；

admin2014-02-06 69

问题设xOy平面第一象限中有曲线F：y=)，(x)，过点A(0，

)，y^’(x)>0．又M(x，y)为F上任意一点，满足：弧段

的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为

．
导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；

选项

答案先求出F在点M(x，y)处的切线方程Y—y(x)=y^’(x)(X一x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距[*]又弧段[*]的长度为[*]，按题意得[*]①这是积分、微分方程，两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：[*]又由条件及①式中令x=0得[*]因此得初值问题[*]②问题①与②是等价的．

解析

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考研数学一

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设xOy平面第一象限中有曲线F：y=)，(x)，过点A(0，)，y’(x)>0．又M(x，y)为F上任意一点，满足：弧段的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为．导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；

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