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  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2019-06-09  100
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
选项
答案所给向量组为一抽象向量组，可用定义证之．证时要充分利用由一个向量组成的向量组Ak-1α的线性无关性，因Ak-1α≠0． 用线性无关定义证之．为此，设有常数λ1，λ2，…，λk，使得 λ1α+λ2Aα+…+λkAk-1α=0． ① 下面证明λ1=λ2=…=λk=0．为此在式①两边左乘Ak-1，得 λ1Ak-1α+λ2Akα+λ3Ak+1α+…+λkA2(k-1)α=0． 因Akα=0，上式从第2项起各项皆为零，因而有λ1Ak-1α=0．而Ak-1α≠0，故λ1=0． 将λ1=0代入式①，得到 λ2Aα+λ3A2α+…+λkAk-1α=0． ② 同法用Ak-2左乘式②，由Akα=0可推得λ2Ak-1α=0，而Ak-1α≠0，故λ2=0． 以此类推，易证得λ3=λ4…=λk=0，因此向量组α，Aα，A2α，…，Akα线性无关．
解析
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考研数学二

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