已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

admin2015-05-07 78

问题已知η₁，η₂，η₃，η₄是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

选项 A、η₁+η₂，η₂－η₃，η₃－η₄，η₄－η₁
B、η₁+η₂，η₂－η₃，η₃－η₄，η₄+η₁
C、η₁+η₂，η₂+η₃，η₃－η₄，η₄－η₁
D、η₁，η₂，η₃，η₄的等价向量组

答案A

解析等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关．例如向量组η₁，η₂，η₃，η₄，η₁+η₂与向量组η₁，η₂，η₃，η₄等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系．故(D)不正确．
(B)、(C)均线性相关，因此不能是基础解系．故(B)与(C)也不正确．
注意到：(η₁+η₂)－(η₂－η₃)－(η₃－η₄)－(η₄+η₁)=0，
(η₁+η₂)－(η₂+η₃)+(η₃－η₄)+(η₄－η₁)=0，
唯有(A)，η₁+η₂，η₂－η₃，η₃－η₄，η₄－η₁是Ax=0的解，又由
(η₁+η₂，η₂－η₃，η₃－η₄，η₄－η₁)=(η₁，η₂，η₃，η₄)

，且

=2≠0，知η₁+η₂，η₂－η₃，η₃－η₄，η₄－η₁线性无关，且向量个数与η₁，η₂，η₃，η₄相同．所以(A)也是Ax=0的基础解系．故选(A)

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考研数学一

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