2. 考研
  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2018-12-29  64
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：ax+2by+3c=0，
l2：bx+2cy+3a=0，
l3：cx+2ay+3b=0，
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
选项
答案先证必要性。设三条直线l1，l2，l3交于一点，则其线性方程组 [*] 有唯一解，故系数矩阵A=[*]与增广矩阵[*]的秩均为2，于是[*]=0。 因为 [*] =6(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—bc) =3(a+b+c)[(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2]， 但根据题设可知(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2≠0，故a+b+c=0。 再证充分性。由a+b+c=0，则从必要性的证明中可知，[*]。由于 [*]=2(ac—b2)=[*]≠0， 故r(A)=2。于是r(A)=[*]=2。 因此方程组(1)有唯一解，即三条直线l1，l2，l3交于一点。
解析
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考研数学一

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