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  3. 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型： (I)y=(1+x)arctan； (II)y=－x)； (Ⅲ)y= (Ⅳ)=f(x)=，x∈(0，2π)； (Ⅴ)y=f[g(x)]，其中f(x)=

讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型： (I)y=(1+x)arctan； (II)y=－x)； (Ⅲ)y= (Ⅳ)=f(x)=，x∈(0，2π)； (Ⅴ)y=f[g(x)]，其中f(x)=

admin2017-05-18  56
问题 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：
(I)y=(1+x)arctan；   
(II)y=－x)；
(Ⅲ)y=   
(Ⅳ)=f(x)=，x∈(0，2π)；
(Ⅴ)y=f[g(x)]，其中f(x)=
选项
答案(I)这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上连续．因此，x≠±1时均连续．x=±1时， [*] 故x=1是第一类间断点(跳跃的)．又[*]y=0，故x=－1也是第一类间断点(可去)． (Ⅱ)先求极限函数．注意[*]=0(｜x｜＜1)，[*]=0(｜x｜＞1)， [*] x≠±1时，｜x｜＜1与｜x｜＞1分别与某初等函数相同，故连续． x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点)．因左、右极限均[*]，不相等． (Ⅲ)在区间(0，+∞)，[－1，0)上函数y分别与某初等函数相同，因而连续．在x=0处y无定义，而 [*] [*]x=0是第一类间断点(可去间断点)． (Ⅳ)f(x)=[*]是初等函数，在(0，2π)内f(x)有定义处均连续．仅在tan(x－[*]无定义处及tan(x－[*])=0处f(x)不连续． [*] (V)先求f[g(x)]表达式． [*] 当x＞1，x＜1时，f[g(x)]分别与某初等函数相同，因而连续．当x=1时，分别求左、右极限 [*] 故x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．
解析
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考研数学一

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