2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x与任意y，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)存在且等于a，a≠0．证明：对任意x，f’(x)存在，并求f(x)．

设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x与任意y，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)存在且等于a，a≠0．证明：对任意x，f’(x)存在，并求f(x)．

admin2019-07-19  46
问题 设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x与任意y，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)存在且等于a，a≠0．证明：对任意x，f’(x)存在，并求f(x)．
选项
答案将y=0代入定义式，有f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．于是 [*] =f(x)+exf’(0)=f(x)+aex． 所以对任意x，f’(x)存在，且f’(x)=f(x)+aex．解之，得 f(x)=ex(∫aex.e－xdx+C)=ex(ax+c)． 由f(0)=0，有C=0．从而f(x)=axex．
解析
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考研数学一

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