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设直线L:. (1)求直线绕z轴旋转所得的旋转曲面, (2)求该旋转曲面介于z=0与z=1之间的几何体的体积.
设直线L:. (1)求直线绕z轴旋转所得的旋转曲面, (2)求该旋转曲面介于z=0与z=1之间的几何体的体积.
admin
2016-10-13
124
问题
设直线L:
.
(1)求直线绕z轴旋转所得的旋转曲面,
(2)求该旋转曲面介于z=0与z=1之间的几何体的体积.
选项
答案
(1)记直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面为∑,设M(x,y,z)为曲面∑上的一点,过点M作与z轴垂直的平面,交直线L及z轴于点M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)及T(0,0,z), 由|M
0
T|=|MT|,得x
2
+y
2
=x
0
2
+y
0
2
, 注意到M
0
∈L,则[*]代入上式得 ∑:x
2
+y
2
=(1+2z)
2
+(2+z)
2
.即∑:x
2
+y
2
=5z
2
+8z+5. (2)对任意的z∈[0,1],截口面积为A(z)=π(x
2
+y
2
)=π(5z
2
+8z+5), 则V=∫
0
1
A(z)dz=π∫
0
1
(5z
2
+8z+5)dz=[*]. 设M(1+2t,2+t,t)为曲面∑上任意一点,则截口面积为 S(t)=πr
2
=π[(1+2t)
2
+(2+t)
2
]=π(5t
2
+8t+5), 则体积为 V=∫
0
1
S(t)dt=[*].
解析
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考研数学一
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