2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3，(b＞0)其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b． (2)用正交变换化f(χ1，χ2，χ3)为标准型．

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3，(b＞0)其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b． (2)用正交变换化f(χ1，χ2，χ3)为标准型．

admin2020-03-16  111
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3，(b＞0)其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
    (1)求a，b．
    (2)用正交变换化f(χ1，χ2，χ3)为标准型．
选项
答案(1)A＝[*] 由条件知，A的特征值之和为1，即a＋2＋(－2)＝1，得a＝1． 特征值之积＝12，即｜A｜＝－12，而 ｜A｜＝[*]＝2(－2－b2) 得b＝2(b＞0)．则A＝[*] (2)｜AE－A｜＝[*]＝(λ－2)2(λ＋3)， 得A的特征值为2(二重)和－3(一重)． 对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A－2E)X＝0的非零解． A－2E＝[*] 得(A－2E)X＝0的同解方程组χ1－2χ3＝0，求出基础解系η1＝(0，1，0)T，η3＝(2，0，1)T．它们正交，单位化：α1＝η1，α2＝[*] 求－3的一个单位特征向量： A＋3E＝[*] (A＋3E)X＝0的同解方程组[*] 得一个η1＝(1，0，－2)T，单位化得α3＝[*] 作正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)，则 QTAQ＝[*] 作正交变换X＝QY则它把f化为Y的二次型f＝2y12＋2y22－3y32．
解析
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考研数学二

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