求曲线x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2022-09-22 88

问题求曲线x³-xy+y³=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

选项

答案设M(x，y)为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d=[*] 构造拉格朗日函数F(x)=x²+y²+λ(x³-xy+y³-1)，则有当x＞0，y＞0时，由(3y²-x)·①-(3x²-y)·②，可得 -3xy(x-y)=(x-y)(x+y)．因此y=x或-3xy=x+y(舍去)．将y=x代入③，解得x=1，从而得唯一驻点(1，1)．又x=0时，y=1；y=0时，x=1，可得边界点为(0，1)和(1，0)．计算可能极值点(1，1)，及边界点(0，1)和(1，0)处的函数值，可得 f(1，1)=2，f(0，1)=1，f(1，0)=1．因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为[*]，最短距离为1．

解析

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考研数学二

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