2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中： ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A-1～B-1。 正确命题的数量为 ( )

设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中： ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A-1～B-1。 正确命题的数量为 ( )

admin2019-03-11  95
问题 设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中：
    ①AB～BA；
    ②A2～B2；
    ③AT～BT；
    ④A-1～B-1。
正确命题的数量为 (     )
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 由A～B可知：存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B．故
    P-1A2P=B2，PTAT(PT)-1=BT，
  P-1A-1P=B-1，所以A2～B2，AT～BT，A-1～B-1．
又由于A可逆，可知A-1(AB)A=BA，故AB～BA．故正确的命题有4个，选(D)．
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考研数学三

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