求曲面积分 I=，(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

admin2020-03-05 37

问题求曲面积分 I=

，(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

选项

答案在S∪S₁∪S₂围成的区域Ω上应用高斯公式，因边界取内法向，故 [*] 其中Ω为x²+1=x²+y²与z=1，z=2所围，圆D(z)的半径为[*]．又 [*] (i=1时公式取“一”，i=2时公式取“+”)，其中S_i与yz平面垂直(i=1，2)，D_i为Si在xy平面上的投影区域分别是圆域x²+y²≤5，x²+y²≤2．因此，I=一[*]．

解析首先求出曲面S的方程：x²+y²=1+z² (1≤z≤2)，法向量朝上．
记P=xz²，Q=0，R=一sinx，则

=z²较简单，但S不是封闭曲面，为了用高斯公式，添加辅助面S₁：z=2(x²+y²≤5)，法向量朝下；S₂：z=1(x²+y²≤2)，法向量朝上．在S∪S₁∪S₂围成的区域Ω上可用高斯公式来计算．

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考研数学一

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