设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．证明：若AB=BA，则B相似于对角矩阵；

admin2018-08-22 84

问题设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．证明：
若AB=BA，则B相似于对角矩阵；

选项

答案设λ₁，λ₂，…，λ_n为A的n个互不相同的特征值，则A有n个线性无关特征向量p₁，p₂，…，p_n，记可逆矩阵P=[p₁，p₂，…，p_n]，有 [*] 由AB=BA得P^-1ABP=P^-1BAP，于是P^-1A．EBP=P^-1BEAP．令E=PP^-1，有 (P^-1AP)(P^-1BP)=(P^-1BP)(P^-1AP)，即 A₁(P^-1BP)=(P^-1BP)A₁．下面证明P^-1P是对角矩阵．设P^-1BP=(c_ij)_n×n，则 [*] 比较两边对应元素得 λ_ic_ij=λ_jc_ij[*](λ_i—λ_j)c_ij=0．当i≠j时，λ_i≠λ_j，则c_ij=0，则 [*] 故B相似于对角阵．

解析

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