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  3. 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)＝ 记 (Ⅰ)求X，Y的边缘概率密度，并判断X与Y的独立性； (Ⅱ)判断U与V的独立性； (Ⅲ)求

设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)＝ 记 (Ⅰ)求X，Y的边缘概率密度，并判断X与Y的独立性； (Ⅱ)判断U与V的独立性； (Ⅲ)求

admin2020-10-30  37
问题 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)＝
记  
(Ⅰ)求X，Y的边缘概率密度，并判断X与Y的独立性；
(Ⅱ)判断U与V的独立性；
(Ⅲ)求
选项
答案(Ⅰ)X的边缘概率密度为fX(x)＝[*]， 当X＜－1或X＞1时，fX(x)＝0； 当－1≤x≤1时，fX(x)＝[*]， 则 [*] 同理，Y的边缘概率密度为 [*] 显然f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立． (Ⅱ)如右图所示， [*] P{U＝0}＝P{X＜－y}＝[*]， P{U＝1}＝P{X≥－Y}＝[*]， 同理，P{V＝0}＝P{x＞y}＝[*]， P{V＝1)＝P{x≤y}＝[*]． 又 P{u＝0，V＝0}＝P{X＜－Y，X＞Y}＝[*]， P{U＝0，V＝1}＝P{X＜－Y，X≤Y)＝[*] P{U＝1，V＝0}＝P{X≥－Y，X＞Y}＝[*]， P{U＝1，V＝1)=P{X≥－Y,X≤Y)＝[*]， 由此可知P{U＝i，V＝j}＝P{U＝i}P{V＝j}(i，j＝0，1)，故U与V相互独立． (Ⅲ)由(Ⅰ)知，fX｜Y(X｜Y)＝[*] 则[*]
解析
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考研数学三

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