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  3. 设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增加，又设则φ(x)在区间(一∞，+∞)上( )

设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增加，又设则φ(x)在区间(一∞，+∞)上( )

admin2016-04-14  75
问题 设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增加，又设则φ(x)在区间(一∞，+∞)上(     )
选项 A、严格单调减少．
B、严格单调增加．
C、存在极大值点．
D、存在极小值点．
答案B
解析
令上式分子为
Ф(x)=(x—a)f(x)一∫axf(t)dt
=(x一a)f(x)一(x一a)f(ξ)
=(x—a)[f(x)一f(ξ)]，
其中，当a＜x时，a＜ξ＜x，从而f(ξ)＜f(x)；当a＞x时，a＞ξ＞x，从而f(ξ)＞f(x)．所以不论a＜x还是a＞x，总有Ф(x)＞0．所以当x≠a时φ’(x)＞0．从而知在区间(一∞，a)与(a，+∞)上φ(x)均为严格单调增加．
以下证明在区间(一∞，+∞)上φ(x)也是严格单调增加．事实上，设x2∈(a，+∞)，则

其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在开区间(a，x2)内．
同理，设x1∈(一∞，a)，则有
φ(x)一φ(x1)=f(a)一f(ξ1)＞0，
其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上两个不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．
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