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  3. 设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵。

设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵。

admin2015-09-14  55
问题 设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵。
选项
答案(AB)T=BTAT=BA=AB，故AB也是实对称矩阵。因A正定，有正定阵S，使A=S2。于是S-1(AB)S=S-1SSBS=SBS=STBS由B正定，知STBS正定，故STBS的特征值全大干0，故与之相似的矩阵AB的特征值全大于0，因此AB正定。
解析
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考研数学三

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