(Ⅰ)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α1，α2，…，αn-1为n一1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．

admin2014-11-26 77

问题 (Ⅰ)设α₁，α₂，…，α_n为n个n维线性无关的向量，且β与α₁，α₂，…，α_n正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α₁，α₂，…，α_n-1为n一1个n维线性无关的向量，α₁，α₂，…，α_n-1与非零向量β₁，β₂正交，证明：β₁，β₂线性相关．

选项

答案(Ⅰ)令[*] 因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以r(A)=n．又因为α₁，α₂，…，α_n与β正交，所以Aβ=0，从而r(A)+r(β)≤n，注意到r(A)=n，于是r(β)=0，即β为零向量． (Ⅱ)方法一：令[*] B=(β₁，β₂)，因为α₁，α₂，…，α_n-1线性无关，所以r(A)=n一1．又因为α₁，α₂，…，α_n-1与β₁，β₂正交，所以AB=0，从而r(A)+r(B)≤n，注意到r(A)=n一1，所以r(B)≤1，即β₁，β₂线性相关．方法二：令[*] 因为α₁，α₂，…，α_n-1线性无关，所以r(A)=n一1．因为α₁，α₂，…，α_n-1与β₁，β₂正交，所以β₁，β₂为方程组AX=0的两个解，而方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β₁，β₂线性相关．

解析

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(Ⅰ)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α1，α2，…，αn-1为n一1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．

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