2. 考研
  3. 求下列微分方程的通解： (Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(arctany-x)dy； (Ⅲ)y’+2y=sinx； (Ⅳ)eyy’-=x2 (Ⅴ) (Ⅵ)(x2-3y2)x+(3x2-y2)=0；

求下列微分方程的通解： (Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(arctany-x)dy； (Ⅲ)y’+2y=sinx； (Ⅳ)eyy’-=x2 (Ⅴ) (Ⅵ)(x2-3y2)x+(3x2-y2)=0；

admin2020-03-10  107
问题 求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)3]dx；   
(Ⅱ)(1+y2)dx=(arctany-x)dy；
(Ⅲ)y’+2y=sinx；   
(Ⅳ)eyy’-=x2
(Ⅴ)
(Ⅵ)(x2-3y2)x+(3x2-y2)=0；

(Ⅸ)xdy-ydx=y2eydy；   
(Ⅹ)y’’+5y’+6y=ex；
(Ⅺ)y’’+9y=6cos3x．
选项
答案(Ⅰ)原方程可改写为[*]，这是一阶线性微分方程，用积分因子[*]=2(x-2)，两边求积分即得通解 [*] 即 y=C(x-2)+(x-2)3，其中C是任意常数． [*] 两边求积分即得通解 [*] 即 x=Ce-arctany+arctany-1，其中C是任意常数． [*] (Ⅵ)题设方程为齐次微分方程，方程可改写成 [*] 这是一个变量可分离型方程，其通解为y(eu+u)=C．所以原微分方程的通解为[*]+x=C． (Ⅷ)因为y’cosy=(siny)’，令u=siny，则原微分方程化为 u’+u=x． 这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 u=e-x(C+∫xexdx)=Ce-x+x-1 所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x-1． (Ⅸ)当y≠0时，将原方程变为如下形式： [*] 所以原方程是一个全微分方程，其通解为 [*] (Ⅺ)对应的特征方程为λ2+9=(λ-3i)(λ+3i)=0[*]特征根为λ1=3i，λ2=-3i，由方程的非齐次项6cos3x可知，应设非齐次方程的特解具有形式y*=x(Acos3x+Bsin3x)．计算可得 [*] 从而A=0，B=1．综合得通解y≡(C1+x)sin3x+C2cos3x．
解析
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考研数学三

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