设A是n阶矩阵，证明存在非0的n阶矩阵B使AB＝0的充分必要条件是｜A｜＝0．

admin2016-10-21 59

问题设A是n阶矩阵，证明存在非0的n阶矩阵B使AB＝0的充分必要条件是｜A｜＝0．

选项

答案必要性．对零矩阵及矩阵B按列分块，设B＝(β₁，β₂…，β_n)，那么 AB＝A(β₁，β₂，…，β_n)＝(Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_n)＝(0，0，…，0)＝0．于是Aβ_j＝0(j＝1，2，…，n)，即β_j是齐次方程组Aχ＝0的解．由B≠0，知Aχ＝0有非零解．故｜A｜＝0．充分性．因为｜A｜＝0，所以齐次线性方程组Aχ＝0有非零解．设β是Aχ＝0的一个非零解，那么，令B＝(β，0，0，…，0)，则B≠0．而AB＝0．

解析

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