已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a>0时，求正交矩阵Q，使Q-1AQ=Λ。

admin2019-01-19 95

问题已知矩阵A=

有特征值λ=5，求a的值；当a>0时，求正交矩阵Q，使Q^-1AQ=Λ。

选项

答案因λ=5是矩阵A的特征值，则由 |5E—A|=[*]=3(4—a²)=0，可得a=±2。当a=2时，矩阵A的特征多项式 |λE—A|=[*]=(λ一2)(λ一5)(λ一1)，矩阵A的特征值是1，2，5。由(E—A)x=0得基础解系α₁=(0，1，一1)^T；由(2E—A)x=0得基础解系α₂=(1，0，0)^T；由(5E—A)x=0得基础解系α₃=(0，1，1)^T。即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α₁，α₂,α₃。由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则 [*] 令Q=(γ₁,γ₂,γ₃)=[*]．则有Q^-1AQ=[*]。

解析

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