设二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。

admin2018-02-07 91

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=3x₁²+3x₂²+5x₃²+4x₁x₃—4x₂x₃。
求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。

选项

答案矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜=[*]=(λ—1)(λ一3)(λ一7)，矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=3，λ₃=7。由(λ_iE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ₁=1，λ₂=3，λ₃=7对应的特征向量分别为 α₁=(一1，1，1)^T，α₂=(1，1，0)^T，α₃=(1，一1，2)^T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α₁，α₂，α₃单位化，即 [*] 且二次型x^TAx在正交变换x=Py下的标准形为f=y₁²+3y₂²+7y₃²。

解析

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考研数学二

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证明：[*]
设F(x，y)是一个二维随机向量(X，Y)的分布函数，x1
求下列隐函数的导数(其中，a，b为常数)：(1)x2＋y2－xy＝1(2)y2－2axy＋b＝0(3)y＝x＋lny(4)y＝1＋xey(5)arcsiny＝ex＋y
求下列各函数的导数(其中，a，n为常数)：
设矩阵，已知线性方程组Ax=β有解但不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．
设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求矩阵A．
设矩阵A与B相似，且求a，b的值；
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
已知二次型f(x1，x2，x3)=4x2-3x3+4x1x2-4x1x3+8x2x3．写出二次型f的矩阵表达式；
(2009年试题，23)设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3．(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

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在北半球，河流自南向北流，在自然状态下，河岸冲刷严重的一侧是______。
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OnthenightofMay7,1942,aplanetookofffromanAirForcebaseinEnglandtostopGermanfightersovertheEnglishChannel
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