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  3. 求下列方程的通解： (Ⅰ)y′=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ)xy′=+y．

求下列方程的通解： (Ⅰ)y′=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ)xy′=+y．

admin2016-10-26  83
问题 求下列方程的通解：
(Ⅰ)y′=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y；
(Ⅱ)xy′=+y．
选项
答案(Ⅰ)属变量可分离的方程，分离变量改写为 [*]=(sinlnx+coslnx+a)dx． 两端求积分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)－∫cos(lnx).[*]dx=xsin(lnx)－∫cos(lnx)dx， 所以通解为ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+lnC，或y=Cexsin(lnx)+ax，其中C为任意常数． (Ⅱ)属齐次方程．令y=xu，并且当x＞0时，原方程可化为 xu′+u=[*]． 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin[*]=lnx+C，其中C为任意常数． 当x＜0时，上述方程变为[*]，其通解应为arcsin[*]=－ln｜x｜+C，其中C为任意常数． 所得的通解公式也可以统一为y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此处还需注意，在上面作除法的过程中丢植了两个特解u=±1．即y=±x．
解析
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考研数学一

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